5.

答案

A

解题方法

由于小明获胜的概率 $F_1$ 为 $\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{2i+1}}$，小杨获胜的概率 $F_2$ 为 $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\cdots + \frac{1}{2^{2i}}$。

一一对应得 $F_1$ 的每一项都是 $F_2$ 的每一项的 $2$ 倍，所以 $F_1 = 2F_2$。

又因为 $F_i+F_2=1$，所以 $F_1=\frac{2}{3}$，故选 A。