怄火。

考虑一下题目条件是在说什么，这个连通性很自然的导向了点双。建出圆方树，那么集合对 $S,T$ 是好的当且仅当 $S$ 的方点邻居或 $S$ 自己在 $T$ 的虚树上。

如果我们把 $T$ 确定下来，那么 $S$ 的数量必然是 $2^{|T|}$。那么计数的过程中主要维护的对象就应该是 $T$。

对每个集合 $T$，我们钦定在 $T$ 虚树的根结点处计数这个集合的贡献。设 $f_u$ 表示所有以 $u$ 为根的虚树的 $T$ 对应的集合对个数之和。

再令 $g_{u}$ 表示 $u$ 子树中，在所有 $T$ 中额外添加一个 $u$（$u$ 到“原本 $T$ 对应的虚树”的路径，也是虚树的一部分）时，所有 $T$ 对应的集合对个数之和。

对于方点，我们有转移

$$f_u=2^{s_u-1}\left(\prod_{v\in \operatorname{son}(u)}(1+g_v)-1-\sum_{v\in\operatorname{son}(u)}g_v\right) $$

其中 $s_u$ 为方点 $u$ 对应的点双大小。因为钦定了 $u$ 是虚树的根，那就必须选 $\ge 2$ 个子树。如果选了 $\ge 2$ 个子树，那么任何一个方点 $u$ 的儿子（圆点）都可以被包含在集合 $S$ 之中。

不要在这里抉择每个儿子 $v$ 是否在 $T$ 里，这里已经在儿子处决择过了。

$$g_u=\left(2^{s_u-1}\sum_{v\in \operatorname{son}(u)}g_v\right)+f_u $$

同理，因为到 $u$ 的路径也是虚树的一部分，方点 $u$ 的所有儿子（圆点）也可以被包含在 $S$ 中，所以要乘上 $2^{s_u-1}$，最后再加上 $f_u$。

对于圆点 $u$ 我们有转移。

$$f_u=\left(\prod_{v\in \operatorname{son}(u)}(1+g_v)-1-\sum_{v\in\operatorname{son}(u)}g_v\right)+\prod_{v\in \operatorname{son}(u)}(1+g_v) $$

如果点 $u$ 不在 $T$ 中，那么至少要有两个儿子被选择，才能在虚树上。否则无论如何就都是可行的。

$$g_u=\left(\sum_{v\in \operatorname{son}(u)}g_v\right)+f_u $$

这个比较显然。

答案就是：

$$2\sum_{i=1}^{tot}f_i+1$$

这里乘 $2$ 是因为，如果 $u$ 是方点，我们没有决策其父亲是否在 $S$ 中，如果 $u$ 是圆点，我们没有决策自己是否在 $S$ 中。最后加上两者都为空的 $1$。

其中 $tot$ 是圆方树点数。